Question

【題目】已知函數f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣ ， ）
（1）當a= ，θ= 時，求f（x）在區間[0，π]上的最大值與最小值；
（2）若f（ ）=0，f（π）=1，求a，θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a= ，θ= 時，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）

=sin（x+ ）+ cos（x+ ）= sinx+ cosx﹣ sinx=﹣ sinx+ cosx

=sin（ ﹣x）=﹣sin（x﹣ ）．

∵x∈[0，π]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴﹣sin（x﹣ ）∈[﹣1， ]，

故f（x）在區間[0，π]上的最小值為﹣1，最大值為

（2）解：∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣ ， ），

f（ ）=0，f（π）=1，

∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，

由①求得sinθ= ，由②可得cos2θ= =﹣ ﹣ ．

再根據cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣ ﹣ =1﹣2× ，

求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣ ，θ=﹣ ．

綜上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣

【解析】（1）由條件利用兩角和差的正弦公式、余弦公式化簡函數的解析式為f（x）=﹣sin（x﹣ ），再根據x∈[0，π]，利用正弦函數的定義域和值域求得函數的最值．（2）由條件可得θ∈（﹣ ， ），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由這兩個式子求出a和θ的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的余弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的余弦公式：，以及對兩角和與差的正弦公式的理解，了解兩角和與差的正弦公式：．