Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ +x（a＞0）．若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x﹣2y=0垂直， （Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′x）= ﹣ +1， ∴f′（1）=﹣2，
∴2a2﹣a﹣3=0，
∵a＞0，
∴a= ．
（Ⅱ）∵f′（x）= ，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，x＜﹣3（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增
【解析】（1）先求出f′x）= ﹣ +1，得f′（1）=﹣2，從而求出a的值，（2）先求出函數的導數，解不等式從而求出單調區間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．