Question

【題目】已知函數f（x）=1﹣ 為定義在R上的奇函數．
（1）試判斷函數的單調性，并用定義加以證明；
（2）若關于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是R上的奇函數，故f（0）=0，

故1﹣ =0，解得：a=1，

故f（x）=1﹣ ，

x→+∞時，f（x）→1，

x→﹣∞時，f（x）→﹣1，

f（x）在R遞增，

證明如下：

設x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）

=1﹣ ﹣1+

= ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在R遞增

（2）解：由（1）f（x）在[﹣1，1]遞增，

而f（﹣1）= ，f（1）= ，

故x∈[﹣1，1]時，f（x）∈[ ， ]，

若關于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，

則m∈[ ， ]

【解析】（1）根據函數的奇偶性得到f（0）=0，求出a的值，根據單調性的定義證明即可；（2）根據函數的單調性求出f（x）在x∈[﹣1，1]的值域，從而求出m的范圍即可．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．