Question

（2012•豐臺區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²+x，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f'（a_n），且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=b，b_n+1=f（b_n）．
（ⅰ）是否存在實數(shù)b，使得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列？若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由；
（ⅱ）若b＞0，求證：

n

i=1

bi

bi+1

＜

1

b

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo) f'（x）=2x+1，由a_n+1=f'（a_n），可得a_n+1=2a_n+1，從而可得 a_n+1+1=2（a_n+1），從而可證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項可求a_n+1，進而可求a_n
（Ⅱ）（ⅰ）假設(shè)存在實數(shù)b滿足題意，則必有2b₂=b₁+b₃，且b₁=b，b2=f(b1)=b2+b，b3=f(b2)=(b2+b)2+(b2+b)，代入可求b，代入檢驗即可求解
（ⅱ）由b₁=b＞0，b_n+1=f（b_n），可得b_n+1與b_n的遞推公式，利用裂項法可求和，進而可證明

解答：解：（Ⅰ）因為 f（x）=x²+x，所以 f'（x）=2x+1．
所以 a_n+1=2a_n+1，
所以 a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=1+1=2，
所以數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
所以 an+1=2•2n-1=2n，即an=2n-1．                    …（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）假設(shè)存在實數(shù)b，使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，則必有2b₂=b₁+b₃，
且b₁=b，b2=f(b1)=b2+b，b3=f(b2)=(b2+b)2+(b2+b)．
所以 2（b²+b）=（b²+b）²+（b²+b）+b，
解得  b=0或b=-2．
當(dāng)b=0時，b₁=0，b_n+1=f（b_n）=0，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
當(dāng)b=-2時，b₁=-2，b₂=2，b₃=6，b₄=42，顯然不是等差數(shù)列．
所以，當(dāng)b=0時，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．                       …（9分）
（ⅱ）b₁=b＞0，b_n+1=f（b_n），則bn+1=f(bn)=bn2+bn；
所以 bn2=bn+1-bn；
所以 

bn

bn+1

=

bn•bn

bn+1•bn

=

bn2

bn+1•bn

=

bn+1-bn

bn+1•bn

=

1

bn

-

1

bn+1

．
因為 bn2=bn+1-bn＞0，
所以 b_n+1＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁=b＞0；
所以 

n

i=1

bi

bi+1

=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)+…+(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b

-

1

bn+1

＜

1

b

．
…（13分）

點評：本題主要考查了以函數(shù)為載體，考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項，數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用是證明（ii）的關(guān)鍵