Question

設平面向量，，函數.
（Ⅰ）求函數的值域和函數的單調遞增區間;
（Ⅱ）當,且時,求的值.

Answer 1

（Ⅰ）值域是；單調增區間為；（Ⅱ）

解析試題分析：根據的特點，利用平面向量的數量積的運算法則化簡，然后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，從而確定出的解析式，
根據、數量積公式和三角函數恒等變換，求出，在根據正弦函數的性質求出函數的值域；
②根據正弦函數的單調區間為，列出不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范圍即為的遞增區間；
③根據，代入的解析式中，得到的值，根據的范圍求出的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函數公式化簡，將和的值代入即可求出值．
試題解析：依題意 （2分）
                  （4分）
（Ⅰ） 函數的值域是；                 （5分）
令，解得     （7分）
所以函數的單調增區間為.       （8分）
（Ⅱ）由得,
因為所以得,        （10分）
         （12分）.
考點：1.正弦函數的定義域和值域、正弦函數的單調性；2. 三角函數的恒等變換及化簡求值；3.平面向量數量積的運算.