Question

（2013•濟寧二模）定義在（0，

π

2

）上的函數f（x），其導函數是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，則（　　）

• A．f（

  π

  6

  ）＞

  3

  f（

  π

  3

  ）
• B．f（

  π

  6

  ）＜

  3

  f（

  π

  3

  ）
• C．

  3

  f（

  π

  6

  ）＞f（

  π

  3

  ）
• D．

  3

  f（

  π

  6

  ）＜f（

  π

  3

  ）

Answer 1

分析：把給出的等式變形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此聯想構造輔助函數g（x）=

f(x)

sinx

，由其導函數的符號得到其在（0，

π

2

）上為增函數，則g（

π

6

）＜g（

π

3

），整理后即可得到答案．

解答：解：因為x∈（0，

π

2

），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=

f(x)

sinx

，x∈（0，

π

2

），則g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＞0．
所以函數g（x）=

f(x)

sinx

在x∈（0，

π

2

）上為增函數，
則g（

π

6

）＜g（

π

3

），即

f( π 6 )

sin π 6

＜

f( π 3 )

sin π 3

，所以

f( π 6 )

1 2

＜

f( π 3 )

3 2

，
即

3

f（

π

6

）＜f（

π

3

）．
故選D．

點評：本題考查了導數的運算法則，考查了利用函數導函數的符號判斷函數的單調性，考查了函數構造法，屬中檔題型．