Question

已知x∈[0，1]，函數f（x）=x²-ln（x+

1

2

），g（x）=x³-3a²x-4a．
（1）求函數f（x）的單調區間和值域；
（2）設a≤-1，若?x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導數f′（x）=2x-

1

x+ 1 2

=

(x+1)(2x-1)

x+ 1 2

；從而由導數的正負確定函數的單調區間及值域；
（2）設g（x）在[0，1]上的值域為[b，c]，則有b≤

1

4

且c≥ln2；再求導g′（x）=3x²-3a²，從而確定函數的單調性，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-

1

x+ 1 2

=

(x+1)(2x-1)

x+ 1 2

；
令f′（x）＜0解得，0≤x＜

1

2

；
故函數f（x）的單調減區間為[0，

1

2

]，
此時，

1

4

≤f（x）≤ln2；
令f′（x）＞0解得，

1

2

＜x≤1；
故函數f（x）的單調增區間[

1

2

，1]，
此時，

1

4

≤f（x）≤ln3-ln2；
故函數f（x）的值域為[

1

4

，ln2]．
（2）根據所給條件，設g（x）在[0，1]上的值域為[b，c]，
則有b≤

1

4

且c≥ln2；
g′（x）=3x²-3a²＜0，
g（x）在[0，1]上是單調減函數，
故g（0）=-4a≥ln2，
解得a≤-

ln2

4

；
g（1）=1-3a²-4a≤

1

4

，
解得a≤-

3

2

或a≥

1

6

；
故a≤-

3

2

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的性質應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．