Question

【題目】已知f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，求a，b的值；
（2）若f（x）≤x2+x恒成立，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0），

∴ ，

∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，

∴ ，

解得，a=﹣1，b=2；

（2）解：設g（x）=f（x）﹣（x2+x），則g（x）=ln（ax+b）﹣x，依題意g（x）≤0恒成立，

①a＜0時，g（x）定義域 ，

取x0使得 ，得 ，

則

與g（x）≤0矛盾，∴a＜0不符合要求，

②a＞0時， ，

當 時，g'（x）＞0；當 時，g'（x）＜0，

∴g（x）在區間 上為增函數，在區間 上為減函數，

∴g（x）在其定義域 上有最大值，最大值為 ，

由g（x）≤0，得 ，∴b≤a﹣alna，∴ab≤a2﹣a2lna，

設h（a）=a2﹣a2lna，則h'（a）=2a﹣（2alna+a）=a（1﹣2lna），

∴ 時， 時，h'（a）＜0，

∴h（a）在區間 上為增函數，在區間 上為減函數，

∴h（a）的最大值為 ，

∴當 時，ab取最大值為 ，

綜合①，②得，ab最大值為 ．

【解析】（1）推導出 ，利用導數的幾何意義列出方程組，能求出a，b的值．（2）設g（x）=f（x）﹣（x2+x），則g（x）=ln（ax+b）﹣x，依題意g（x）≤0恒成立，根a＜0，a＞0兩種情況分類討論，利用導數性質能求出ab的最大值．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．