Question

【題目】點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為．

（1）若點滿足，試求點的軌跡的方程；

（2）直線與相交于，兩點，且與（1）中的相切，線段的垂直平分線與軸相交于點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)設,,的坐標由向量間的關系,求出與的坐標之間的關系,再由相關點法求出的軌跡方程.

(2)設直線,聯立與兩個切線的方程,由題意得與直線參數的關系,由參數的范圍求出的取值范圍．

解:(1)設,則,,,

由,所以,解得:,

由在橢圓上,所以動點的軌跡的方程:.

(2)當直線 的斜率不存在時,不符合題意,舍去;

當直線的斜率存在時,設直線的方程為:

聯立與橢圓的方程,整理得:

則,化簡得:①

因為直線與橢圓交于,,設,,的中點

聯立直線與橢圓的方程整理得:

,,

則,所以的中垂線方程:

令,得,所以②,由①②得

令,則．

所以的取值范圍:．