Question

已知無窮數(shù)列中，、 、、構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為－2的等差數(shù)列，、、、，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其中，.
（1）當(dāng)，，時，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若對任意的，都有成立．
①當(dāng)時，求的值；
②記數(shù)列的前項(xiàng)和為．判斷是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）①的值為或；②詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的定義求出當(dāng)時數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示數(shù)列的通項(xiàng)；（2）①先確定是等差數(shù)列部分還是等比數(shù)列部分中的項(xiàng)，然后根據(jù)相應(yīng)的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的周期性求出的值；②在（1）的基礎(chǔ)上，先將數(shù)列的前項(xiàng)和求出，然后利用周期性即可求出，構(gòu)造，利用定義法求出的最大值，從而確定和的最大值，進(jìn)而可以確定是否存在，使得.
試題解析：（1）當(dāng)時，由題意得，                  2分
當(dāng)時，由題意得，                    4分
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為                5分
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021658963659.png" style="vertical-align:middle;" />無解，所以必不在等差數(shù)列內(nèi)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021658994815.png" style="vertical-align:middle;" />，所以必在等比數(shù)列內(nèi)，且等比數(shù)列部分至少有項(xiàng)，
則數(shù)列的一個周期至少有項(xiàng)，                           7分
所以第項(xiàng)只可能在數(shù)列的第一個周期或第二個周期內(nèi)，
若時，則，得，
若，則，得，
故的值為或                                 9分
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021659243961.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，               12分
記，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021658323457.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即，           14分
故時，取最大，最大值為，
從而的最大值為，不可能有成立，故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)     16分項(xiàng)和、數(shù)列的周期性、數(shù)列的單調(diào)性