Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面， ， ， ， ， 為的中點．

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）．

【解析】試題分析：證明線面垂直，只需尋求線線垂直，利用題目提供的面面垂直，可以得到線面垂直，進而說明線線垂直；求二面角可采用建立空間直角坐標系，借助法向量求解，本題需要設，根據條件求出，再利用法向量求出二面角的余弦.

試題解析：（1）證明：∵， 為的中點，∴，又平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面，∴．又， ，∴面．

（2）方法一：由平面平面，作于，則面．

作于，連，則，由， ，

知 ，而， ，故，即．

在四邊形中，設．

則由余弦定理得．

，設與交于點，則

， ，而 ，則．

于是，即，∴或（舍）

容易求得： ，而．

故，由面面，則面，過作于，連，則為二面角的平面角，由平面幾何知識易得， ．

∴．

方法二：以點為原點， 為軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設， ，則， ， ， ．

∴， ．由，得，∴，則， ，于是， ，

∵，

∴，即，解得或（舍），故，則， ，于是， ，設平面的法向量為，則即，取，則，∴．

不妨設平面的法向量，則，

故二面角的余弦值為．