Question

口袋中裝著標有數字1，2，3，4的小球各2個，從口袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的8倍計分，每個小球被取出的可能性相等，用ξ表示取出的3個小球上的最大數字，求：
（I）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
（II）隨機變量ξ的概率分布和數學期望；
（III）計分介于17分到35分之間的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A，由此利用等可能事件概率計算公式能求出取出的3個小球上的數字互不相同的概率．
（Ⅱ）由題意ξ所有可能的取值為：2，3，4．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的概率分布和數學期望．
（Ⅲ）“一次取球所得計分介于17分到35分之間”的事件記為C，則P（C）=P（“ξ=3”或“ξ=4”），由此能求出結果．

解答： （ 滿分12分）
解：（Ⅰ）“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A，
則P(A)=

C 3 4 • C 1 2 • C 1 2 • C 1 2

C 3 8

=

4

7

．…（3分）
（Ⅱ）由題意ξ所有可能的取值為：2，3，4．
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 2

C 3 8

+

C 1 2 C 2 2

C 3 8

=

1

14

，
P（ξ=3）=

C 2 4 C 1 2 + C 1 4 C 2 2

C 3 8

=

2

7

，
P（ξ=4）=

C 2 6 C 1 2 + C 1 6 C 2 2

C 3 8

=

9

14

，…（7分）
∴隨機變量ξ的概率分布為

ξ	2	3	4
P	1 14	2 7	9 14

∴ξ的數學期望為Eξ=2×

1

14

+3×

2

7

+4×

9

14

=3

4

7

．　 …（9分）
（Ⅲ）“一次取球所得計分介于17分到35分之間”的事件記為C，
則P（C）=P（“ξ=3”或“ξ=4”）=P（“ξ=3”）+P（“ξ=4”）
=

2

7

+

9

14

=

13

14

．…（12分）

點評：本題考查概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題．