Question

設A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上兩個不同的動點，若當線段AB的中點在直線x=2上運動時，AB的垂直平分線l經過定點N（4，0）求C的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設線段AB的中點為M（2，m），運用中點坐標公式，以及直線的斜率公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，分別求出直線AB和MN的斜率，解方程即可求得p=2，進而得到拋物線方程．

解答： 解：設線段AB的中點為M（2，m），
則y₁+y₂=2m，即m=

y1+y2

2

，
由拋物線方程可得x₁=

y12

2p

，x₂=

y22

2p

，
則MN的斜率為k_MN=

y1+y2 2 -0

2-4

=

y1+y2

-4

，
直線AB的斜率為k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
由于MN⊥AB，則k_MN•k_AB=-1，
即有

y1+y2

-4

•

2p

y1+y2

=-1，解得p=2．
則拋物線C的方程為y²=4x．

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線的斜率公式的運用，以及兩直線垂直的條件，考查中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．