Question

【題目】函數f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數F（x）= ，給出下列命題：
①F（x）=|f（x）；
②函數F（x）是偶函數；
③當a＜0時，若0＜m＜n＜1，則有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④當a＞0時，函數y=F（x）﹣2有4個零點．
其中正確命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：解：（1）∵函數f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數F（x）= ，

對于①，∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；故①不錯；

對于②，F（x）= ═F（x）∴函數F（x）是偶函數；故②正確，

對于③，∵當a＜0時，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|

∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正確；

對于④，∴x＞0時，F（x）在（0，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增，∴x＞0時，F（x）的最小值為F（1）=1，

故x＞0時，F（x）與y=﹣2有2個交點，∵函數F（x）是偶函數，∴x＜0時，F（x）與y=﹣2有2個交點

故當a＞0時，函數y=F（x）﹣2有4個零點．所以④正確，

所以答案是：②③④

【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．