Question

已知x₁和x₂是函數f（x）=x²-ax+a-2=0的兩個零點．
（1）若x₁和x₂的值均小于2，求實數a的取值范圍；
（2）設m∈R，若不等式|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由二次函數性質和根與系數的關系，分析得不等式組，求得，（2）恒成立轉化為最值問題求解．

解答： 解：（1）函數f（x）=x²-ax+a-2=0為二次函數，圖象開口向上，關于x=

a

2

，若x₁和x₂的值均小于2，則有

△＞0 a 2 ＞2 f(2)＞0

⇒a＜2，
（2）由題意，x₁和x₂是x²-ax+a-2=0的兩根，由韋達定理得x₁+x₂=a，x₁•x₂=a-2，
所以|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2-4(a-2)

=

a2-4a+8

=

(a-2)2+4

，
當a=2時，|x₁-x₂|_min=2，
若不等式|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a恒成立，
∴|m-5|≤2，
∴3≤m≤7．

點評：本題考查二次函數的性質和恒成立問題的轉化，注意的是韋達定理和數形結合在其中的作用．