Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若BC=2BF，且AF=4，則此拋物線的方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出直線方程，與拋物線聯立消去y得到關于x的一元二次方程，求得x_Ax_B的表達式，根據BC=2BF確定關于p的等式，求得p，則拋物線方程可得．

解答： 解：設直線AC的方程為ky=x-

p

2

（k≠0）
聯合拋物線y²=2px
消去y得x²-（1+2k²）px+

p2

4

=0
∴x_Ax_B=

p2

4

①

依據拋物線的特性
|AF|=x_A+

p

2

；|BF|=x_B+

p

2

，
∴|CB|：|BF|=
（x_B+

p

2

）：p=|CB|：|CF|=2：3
∴x_B=

p

6

②
∴①②聯立求得x_A=

3p

2

，
∴|AF|=

3p

2

+

p

2

=2p=3，
∴拋物線方程y²=3x．
故答案為：y²=3x．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解決直線與拋物線的關系問題，一般考慮韋達定理的靈活運用．