Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中點，若向量

AM

=

1

4

AB

+m•

AC

，且

AM

的終點M在△ACD的內部（不含邊界），則

AM

•

BM

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：計算題,作圖題,平面向量及應用

分析：以AB為x軸，AC為y軸，作圖如右圖，利用向量的坐標運算求

AM

•

BM

的取值范圍．

解答： 解：以AB為x軸，AC為y軸，作圖如右圖，
點A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），
則

AM

=

1

4

AB

+m•

AC

=

1

4

（4，0）+m（0，4）=（1，4m），
則M（1，4m），
又∵

AM

的終點M在△ACD的內部（不含邊界），
∴1＜4m＜3，

1

4

＜m＜

3

4

，
則

AM

•

BM

=（1，4m）•（-3，4m）
=16m²-3，
∵

1

4

＜m＜

3

4

，
∴-2＜16m²-3＜6；
故答案為：（-2，6）．

點評：本題考查了向量在平面幾何中的運用，屬于基礎題．