Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，記點(diǎn)P的軌跡為曲線W，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②曲線W關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
③曲線W與x軸非負(fù)半軸，y軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于

1

2

；
④曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為2-

2

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，可得曲線方程，作出曲線的圖象，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，
∴|x|+|y|=

(x-1)2+(y-1)2

，
∴|xy|+x+y-1=0，
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y-1）（1-x）=0，
函數(shù)的圖象如圖所示
∴曲線W關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
曲線W與x軸非負(fù)半軸，y軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于

1

2

；
由y=x與（x+1）（y+1）=2聯(lián)立可得x=

2

-1，∴曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為

2

（

2

-1）=2-

2

，
∴所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，求出軌跡方程，正確作出曲線的圖象是關(guān)鍵．