Question

已知{a_n}是首項為2，公差不為零的等差數列，且a₁，a₅，a₁₇成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

an

3n-1

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）用首項和公差表示等差數列的a₁，a₅，a₁₇，利用等比中項概念列式求得公差，等差數列的通項公式可求；
（2）利用錯位相減法，即可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）在等差數列{a_n}中，設公差為d，a₁=2，a₅=2+4d，a₁₇=2+16d，
∵a₁，a₅，a₁₇成等比數列，
∴（2+4d）²=2（2+16d），
即d²=d，
∵d≠0，
∴d=1
∴a_n=2+（n-1）=n+1；
（2）b_n=

an

3n-1

=

n+1

3n-1

=（n+1）•(

1

3

)n-1，
∴S_n=2×(

1

3

) ⁰+3×(

1

3

)1+…+n•(

1

3

)n-2+（n+1）•(

1

3

)n-1，
∴

1

3

S_n=2×(

1

3

) ¹+3×(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n-1+（n+1）•(

1

3

)n，
兩式相減的得

2

3

S_n=2+(

1

3

) ¹+(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n-1-（n+1）•(

1

3

)n，
∴

2

3

S_n=2+

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-（n+1）•(

1

3

)n，
∴

2

3

S_n=

5

2

-

2n+5

2×3n

，
∴S_n=

15

4

-

2n+5

4×3n-1

點評：本題考查了等差等比數列的通項公式，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題