Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③當x₁，x₂∈[0，1]，且x₁+x₂∈[0，1]時，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．稱這樣的函數為“友誼函數”．
請解答下列各題：
（1）已知f（x）為“友誼函數”，求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？請給出理由；
（3）已知f（x）為“友誼函數”，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：（1）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），結合已知f（0）≥0，可求f（0）
（2）要判斷函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數，只要檢驗函數g（x）=2^x-1在[0，1]上是否滿足①g（x）＞0；②g（1）=1；③x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）即可．
（3）利用反正法，先假設f（x₀）≠x₀，然后分f（x₀）＞x₀，f（x₀）＜x₀，兩種情況分別進行論證即可

解答： 解：（1）令x₁=1，x₂=0，則x₁+x₂=1∈[0，1]．
由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．
又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．
（2）g（x）=2^x-1是友誼函數．
任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁+x₂∈[0，1]，有2x₁≥1，2x₂≥1．
則（2x₁-1）（2x₂-1）≥0．
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）．又g（1）=1，
故g（x）在[0，1]上為友誼函數．
（3）取0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁≤1．
因此，f（x₂）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）≥f（x₁）．
假設f（x₀）≠x₀，
若f（x₀）＞x₀，則f[f（x₀）]≥f（x₀）＞x₀．
若f（x₀）＜x₀，則f[f（x₀）]≤f（x₀）＜x₀．
都與題設矛盾，因此f（x₀）=x₀．

點評：采用賦值法是解決抽象函數的性質應用的常用方法，而函數的新定義往往轉化為一般函數性質的研究，本題結合指數函數的性質研究函數的函數的函數值域的應用，指數函數的單調性的應用．