Question

已知函數f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調增區間
（Ⅱ）求不等式f（x）≤-

6

4

的解集．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=

2

2

cos（x+

π

4

），可得函數的最小正周期，令2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ，求得x的范圍，可得函數的增區間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式即 cos（x+

π

4

）≤-

3

2

，根據2kπ+

2π

3

≤x+

π

4

≤2kπ+

4π

3

，k∈z，求得x的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

（cosx-sinx）=

2

2

cos（x+

π

4

），
故函數的最小正周期為2π，
令2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ，求得2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

，k∈z，
故函數的增區間為[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]，k∈z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式f（x）≤-

6

4

，即 cos（x+

π

4

）≤-

3

2

，
∴2kπ+

2π

3

≤x+

π

4

≤2kπ+

4π

3

，k∈z，求得 2kπ+

5π

12

≤x≤2kπ+

13π

12

，k∈z，
故不等式的解集為{x|2kπ+

5π

12

≤x≤2kπ+

13π

12

}，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性、單調性，屬于基礎題．