Question

【題目】如圖，已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線(xiàn)分別相切于、兩點(diǎn)，另一圓與圓外切，且與軸及直線(xiàn)分別相切于、兩點(diǎn)．

（1）求圓和圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，求直線(xiàn)被圓截得的弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

試題分析：（1）圓的圓心已知，且其與軸及直線(xiàn)分別相切于兩點(diǎn)，故半徑易知，另一圓與圓外切、且與軸及直線(xiàn)分別相切于兩點(diǎn)，由相似性易得其圓心坐標(biāo)與半徑，依定義寫(xiě)出兩圓的方程即可；（2）由于點(diǎn)位置不特殊，可以由對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為求過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)平行的線(xiàn)被圓截得弦的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）由于與的兩邊均相切，故到及的距離均為的半徑，則在的平分線(xiàn)上，同理，也在的平分線(xiàn)上，

即三點(diǎn)共線(xiàn)，且為的平分線(xiàn)，

∵的坐標(biāo)為，∴到軸的距離為1，即的半徑為1，

則的方程為，

設(shè)的半徑為，其與軸的切點(diǎn)為，連接、，

由可知，，

即．

則，則圓的方程為；

（2）由對(duì)稱(chēng)性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)的平行線(xiàn)被圓截得的弦的長(zhǎng)度，

此弦的方程是，即：，

圓心到該直線(xiàn)的距離，則弦長(zhǎng)=．