Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2A+cosA=0．
（1）求∠A；
（2）若b=1，求a²+c²的最小值，并求此時△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據二倍角的余弦公式化簡題中的等式，可得2cos²A+cosA-1=0，結合0＜A＜π解出cosA的值，從而可得角A的大小．
（2）由條件利用余弦定理求得a²+c²=2(c-

1

4

)2+

7

8

，利用二次函數的性質求得a²+c² 的最小值為

7

8

，此時，a=

13

4

，△ABC的面積為

1

2

•bc•sinA，計算可得結果．

解答： 解：（1）△ABC中，由cos2A+cosA=0，可得得2cos²A+cosA-1=0，
解得cosA=-1，或cosA=

1

2

，
因為A是三角形的內角，0＜A＜π，所以A=

π

3

．
（2）若b=1，由余弦定理可得a²=1+c²-c，∴a²+c²=2c²-c+1=2(c-

1

4

)2+

7

8

，
故當c=

1

4

時，a²+c² 的最小值為

7

8

，此時，a=

13

4

，△ABC的面積為

1

2

•bc•sinA=

3

16

．

點評：本題主要考查二倍角的余弦公式、基本不等式的應用，屬于基礎題．