Question

【題目】已知函數的定義域為（0，+），若在（0，+）上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在（0，+）上為增函數，則稱為”二階比增函數”。我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為1，所有“二階比增函數”組成的集合記為2。

（1）已知函數，若∈1，求實數的取值范圍，并證明你的結論；

（2）已知0<a<b<c，∈1且的部分函數值由下表給出：

			t	4

求證：；

（3）定義集合，且存在常數k，使得任取x∈（0，+），<k}，請問：是否存在常數M，使得任意的∈，任意的x∈（0，+），有<M成立?若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）≤0；（2）見解析；（3）0

【解析】

（1）由∈，即在（0，+）是增函數，利用單調性的定義求解即可；

（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一階比增函數”可得，再利用不等式的性質即可得出；

（3）根據“二階比增函數”先證明f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．再證明f（x）＝0在（0，+∞）上無解．即可得出．

（1）解：因為∈，即在（0，+）是增函數，

當≤0，函數顯然為增函數；

當>0，

任取，則

.

，

當≤0，，, 函數為增函數

當>0，

當時，，，，

所以，即，所以在上為減函數.

當時，，，，

所以，即，所以在上為增函數.

所以≤0，

（2）因為∈，且0<a<b<c<a+b+c，

所以，所以，

同理可證，，

三式相加得，所以。

因為，所以，而0<a<b，所以d<0，所以。

（3）因為集合，且存在常數k，使得任取x∈（0，+），<k}，

所以 ∈，存在常數k，使得<k對x∈（0，+）成立。

我們先證明≤0對x∈（0，+）成立：假設 ∈（0，+），使得>0，記>0，

因為是二階比增函數，即是增函數。所以當x>時，>，所以 ，

所以一定可以找到一個>，使得>>k，這與<k對∈（0，+）成立矛盾，

≤0對x∈（0，+）成立，所以 ∈，≤0對x∈（0，+）成立。

下面我們證明在（0，+）上無解：

假設存在>0，使得=0，則因為是二階增函數，即是增函數，

一定存在>>0，>，這與上面證明的結果矛盾。所以在（0，+）上無解。

綜上，我們得到 ∈，<0對∈（0，+）成立，

所以存在常數M≥0，使得 ∈，x∈（0，+），有M成立，

又令=（>0），則<0對x∈（0，+）成立，

又有在（0，+）上是增函數，所以，

而任取常數k<0，總可以找到一個>0，使得>時，有>k，所以M的最小值為0。