Question

△ABC中，內角A、B．C所對邊分別為a、b、c，己知A=

π

6

，c=

3

，b=1．
（1）求a的長及B的大小；
（2）若0＜x＜B，求函數f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出關系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，利用等邊對等角確定出B的度數即可；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域確定出f（x）的值域即可．

解答： 解：（1）∵△ABC中，A=

π

6

，c=

3

，b=1，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+3-3=1，即a=1，
則A=B=

π

6

；
（2）f（x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
由0＜x＜

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

＜

2π

3

，即

3

2

＜sin（2x+

π

3

）≤1，
則函數的值域為（

3

，2]．

點評：此題考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．