Question

已知在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∠ADC=135°，BC=8，AB=9，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形

專(zhuān)題：解三角形

分析：設(shè)∠BDC=θ，在△ABD與△BCD中，由正弦定理可得：

9

sin(135°-θ)

=

BD

sinθ

，

8

sinθ

=

BD

sin(135°-θ)

，可得sinθ=2cosθ，θ∈(0，

π

2

)．又sin²θ+cos²θ=1，解得sinθ=

2 5

5

．在△BCD中，由正弦定理可得

DC

sin45°

=

8

sinθ

，即可得出．

解答： 解：設(shè)∠BDC=θ，在△ABD與△BCD中，由正弦定理可得：

9

sin(135°-θ)

=

BD

sinθ

，

8

sinθ

=

BD

sin(135°-θ)

，
∴

9sinθ

8sin(135°-θ)

=

sin(135°-θ)

sinθ

，化為3sinθ=2

2

sin（135°-θ），
展開(kāi)化為3sinθ=2

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)，
∴sinθ=2cosθ，
可得θ∈(0，

π

2

)．
又sin²θ+cos²θ=1，
解得sinθ=

2 5

5

．
在△BCD中，由正弦定理可得

DC

sin45°

=

8

sinθ

，
∴DC=

8sin45°

sinθ

=

8× 2 2

2 5 5

=2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理解三角形、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．