Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分別是A1C1 ， BC的中點．
（1）求證：AB⊥C1F；
（2）求證：C1F∥平面ABE；
（3）求三棱錐E﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BB1⊥底面ABC，AB平面ABC

∴BB1⊥AB．

又∵AB⊥BC，BC平面B1BCC1，BB1平面B1BCC1，BC∩BB1=B，

∴AB⊥平面B1BCC1，

又∵C1F平面B1BCC1，

∴AB⊥C1F．

（2）證明：取AB的中點G，連接EG，FG．

∵F，G分別是BC，AB的中點，

∴FG∥AC，且FG= AC，

∵AC A1C1，E是A1C1的中點，∴EC1= A1C1．

∴FG∥EC1，且FG=EC1，

∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F∥EG．

又∵EG平面ABE，C1F平面ABE，EG平面ABE，

∴C1F∥平面ABE．

（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB= = ．

∴三棱錐E﹣ABC的體積V= S△ABCAA1= × × ×1×2=

【解析】（1）由BB1⊥平面ABC得AB⊥BB1 ， 又AB⊥BC，故AB⊥平面B1BCC1 ， 所以AB⊥C1F；（2）取AB的中點G，連接EG，FG．則易得四邊形EGFC1是平行四邊形，故而C1F∥EG，于是C1F∥平面ABE；（3）由勾股定理求出AB，代入棱錐的體積公式計算即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．