Question

【題目】已知函數，其中a為實數.

（1）當a=-1時，求函數y=f(x)的零點；

（2）若f(x)在（-2,2）上為增函數，求實數a的取值范圍；

（3）對于給定的實數a，若存在兩個不相等的實數根，，（<且≠0）使得f()=f(),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數y=f(x)的零點為或；（2）見解析

【解析】

（1）直接解方程即得函數y=f(x)的零點為或；（2）由題得，利用分段函數的單調性和二次函數的圖象分析即得解；（3）對分三種情況討論，結合函數的圖象分析得解.

（1），

所以或，

所以或，

所以或.

所以函數y=f(x)的零點為或.

（2）由題得，二次函數的對稱軸為，

當即時，由題得，即.因為，所以；

當即時，函數在（-2,2）上為增函數，所以；

當即時，由題得，所以，所以.

綜上，所以實數a的取值范圍為.

（3）當時，，

(因為<且≠0，所以不能取等)

當時，函數在R上單調遞增，所以不滿足題意；

當時，函數在單調遞減，在單調遞增.

所以，令，

①若，則，由知且

所以

所以函數M在上是增函數，

所以，

所以此時.

②若，則，則，

所以，因為，，所以

，

因為，所以，

所以，

令，所以

所以，

綜上，當時，；當時，不存在；當時，.