Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數n，都有a_n=5S_n+1成立，記b_n=

4+an

1-an

(n∈N*)，已知數列{b_n}的前n項和為R_n，正實數λ滿足：R_n≤λn對任意正整數n恒成立，則λ的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：當n=1時，a₁=5a₁+1，求得a₁=-

1

4

，又由a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，兩式相減，再由等比數列的通項公式，求得a_n，進而得到b_n，設n=2k+1（k∈N⁺）推出R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1＞4n-1，由此入手能推導出正實數λ的最小值為4．

解答： 解：當n=1時，a₁=5a₁+1，∴a₁=-

1

4

，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即a_n+1=-

1

4

a_n，
∴數列{a_n}成等比數列，其首項-

1

4

，公比是-

1

4

，
∴a_n=（-

1

4

）•（-

1

4

）^n-1=（-

1

4

）ⁿ．
∴b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

，
一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數時，設n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=4n+5×（-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

）=4n+5×[-

1

41+1

+（

1

42-1

-

1

43+1

）+…+
（

1

42k-1

-

1

42k+1+1

）]
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對一切大于1的奇數n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對滿足n＜

1

4-λ

的正奇數n成立，矛盾．
另一方面，當λ=4時，對一切的正整數n都有R_n≤4n
事實上，對任意的正整數k，有b_2n-1+b_2n=8+

5

(-4)2k+1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

16k-1

-

20

16k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

，
∴當n為偶數時，設n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＜8m，
當n為奇數時，設n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對一切的正整數n，都有R_n≤4n
綜上所述，正實數λ的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．