Question

【題目】橢圓C： 的左右焦點分別是F1 ， F2 ， 離心率為 ，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1 ， PF2 ， 設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1 ， PF2的斜率分別為k1 ， k2 ， 若k≠0，試證明 為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把﹣c代入橢圓方程得 ，解得 ，

∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，∴ ．

又 ，聯(lián)立得 解得 ，

∴橢圓C的方程為

（2）解：如圖所示，設|PF1|=t，|PF2|=n，

由角平分線的性質(zhì)可得 ，

又t+n=2a=4，消去t得到 ，化為 ，

∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．

∴m的取值范圍；

（3）證明：設P（x0，y0），

不妨設y0＞0，由橢圓方程 ，

取 ，則 = ，

∴k= = ．

∵ ， ，

∴ = ，

∴ = =﹣8為定值．

【解析】（1）把﹣c代入橢圓方程并化簡，再結(jié)合“過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1”與離心率的值可列出方程組，解方程組即可求得橢圓的方程；（2）設|PF1|=t，|PF2|=n，利用角平分線的性質(zhì)表示出t于n的比值，再利用橢圓的性質(zhì)將t消去，再根據(jù)n的取值范圍求得m的取值范圍；（3）設出點P的坐標，橢圓方程變形為關(guān)于x的函數(shù)，再利用導函數(shù)得到切線的斜率，即可得到k1，k2，代入即可證明.
【考點精析】掌握直線的斜率和橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．