Question

（1）在極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數a的值．
（2）對5副不同的手套進行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．對于下列事件：①A：甲正好取得兩只配對手套；②B：乙正好取得兩只配對手套．試判斷事件A與B是否獨立？并證明你的結論．

Answer 1

（1）p²=2pcosθ，圓ρ=2cosθ的普通方程為：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：3x+4y+a=0，
又圓與直線相切，所以

|3•1+4•0+a|

9+16

=1，解得：a=2，或a=-8．
（2）設“甲正好取得兩只配對手套”為事件A
∵從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，
甲先任取一只要從5對中取一對且一對中又有兩種不同的取法，
余下的乙從8只手套中取兩只，有C₈²中取法，
根據古典概型公式得到
P（A）=

C 15 ×2× A 28

A 410

=

1

9

．
P（B）=

C 15 ×2× A 28

A 410

=

1

9

．
∵從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，
甲乙兩個人都取得成對的手套有C₅²×2×C₂¹×2種不同取法，
∴P（AB）=

C 25 ×2× C 12 ×2

A 410

=

1

63

，
又P（A）=

1

9

，P（B）=

1

9

，
∴P（A）P（B）=

1

81

，
∴P（A）P（B）≠P（AB），故A與B是不獨立的．