Question

【題目】已知

（I）求函數的極值；

（II）若方程僅有一個實數解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）時，沒有極值，時有極小值；（II）或.

【解析】

（I）先根據題意，求出，再求出，然后對a進行討論，求得的單調性，然后取得極值.

（II）僅有一個實數解,即有唯一零點，然后求得

，再對a進行討論，討論單調性，求得的最小值，再利用零點存在性定理，最后求得a的取值.

（I）,

當 ， ，在上是增函數，

所以，函數沒有極值.

（2）若，

所以在是減函數，在是增函數

所以在取極小值，極小值為

（II）僅有一個實數解,即有唯一零點.

當，，此時在R上遞增，

因為，

所以在遞減；在遞增，

，當x=0取等號，

所以滿足題意；

當時，

所以在遞減，上遞增；

令

此時當上，遞增；當上，遞減；

當且緊當取等號，

所以（1）當，，且

因為（利用：當時， ），所以

由零點存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）

于是，當遞增；當遞減；當遞增；

于是

且當

由零點存在性定理：必然存在一個使得

此時，存在兩個零點，可見不滿足題意；

（2）當時，，且

此時，且（這里利用 ）

由零點存在性定理：必然存在唯一，使得=0

此時在遞增；在遞減；

在遞增

可見，

且當

由零點存在性定理：必然存在唯一一個，使得

此時，存在兩個零點，可見不滿足題意；

（3）當時，則

此時在R上遞增，且，

所以此時有唯一一個零點

所以滿足題意

綜上，a的取值范圍為