Question

【題目】已知函數=，若對于任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是_________；

Answer 1

【答案】(0,1)

【解析】

由題意設g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R，則g（x）是定義域R上的奇函數，且為增函數；問題等價于g（x2+a）＞g（﹣2ax）恒成立，得出x2+a＞﹣2ax，利用判別式△＜0求得實數a的取值范圍．

函數f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x+1，x∈R；可設g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R；

則f（x）=g（x）+1，

且g（﹣x）=e﹣x﹣ex+2x=﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）=﹣g（x），

∴g（x）是定義域R上的奇函數；又g′（x）=ex+e﹣x﹣2≥0恒成立，

∴g（x）是定義域R上的增函數；

∴不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立，

化為g（x2+a）+g（2ax）+2＞2恒成立，

即g（x2+a）＞﹣g（2ax）=g（﹣2ax）恒成立，∴x2+a＞﹣2ax恒成立，

即x2+2ax+a＞0恒成立；∴△=4a2﹣4a＜0，

解得0＜a＜1，∴實數a的取值范圍是（0，1）．

故答案為：（0，1）．