Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）若存在x∈[1，3]，使 +lnx=2成立，求a的取值范圍；
（3）若對任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（ ）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x﹣lnx（x＞0）的導數為f′（x）=1﹣ = ，

當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞減．

即有f（x）在x=1處取得極小值，也為最小值，且為1

（2）解：存在x∈[1，3]，使 +lnx=2成立，

即為 =2﹣lnx，

即有a= ，

設g（x）= ，x∈[1，3]，

則g′（x）=（1﹣lnx）（1+ ），

當1＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當e＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）遞減．

則g（x）在x=e處取得極大值，且為最大值e+ ；

g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+ ＞2，

則a的取值范圍是[2，e+ ]

（3）解：若對任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（ ）成立，

即為ax﹣lnx≥ ﹣ln ，

即有a（x﹣ ）≥2lnx，x≥1，

令F（x）=a（x﹣ ）﹣2lnx，x≥1，

F′（x）=a（1+ ）﹣ ，

當x=1時，原不等式顯然成立；

當x＞1時，由題意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，

即有a（1+ ）﹣ ≥0，

即a≥ ，由 = ＜ =1，

則a≥1．

綜上可得a的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）求得f（x）的導數，求得單調區間，可得f（x）的極小值，也為最小值；（2）由題意可得a= ，設g（x）= ，x∈[1，3]，求出導數和單調區間，極值和最值，即可得到所求a的范圍；（3）由題意可得ax﹣lnx≥ ﹣ln ，即有a（x﹣ ）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣ ）﹣2lnx，x≥1，求出導數，討論x=1，x＞1時，F（x）遞增，運用分離參數和基本不等式，即可得到a的范圍．