Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減（2）

【解析】

（1）當時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性與最值，進而得出的符號，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求得的導(dǎo)數(shù)，分，，，四種情況討論，求得的單調(diào)性與最值，得出單調(diào)性，即可求解的極值，進而得到的范圍.

（1）當時，，定義域為，

，設(shè)，則，

當時，，當時，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

的最大值為，所以當時，，即

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減

（2）由已知得：，則，

記，則，，

①若時，則當時，在單調(diào)遞增

且當時，，即

當時，，即

又，所以函數(shù)在處取得極小值，滿足題意.

②若時，則，當時，，故函數(shù)區(qū)間單調(diào)遞增，

且當時即

當時，即

又，所以函數(shù)在處取得極小值，滿足題意.

③若時，則，由（1）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

故在區(qū)間單調(diào)遞減，不滿足題意.

④若時，則，當時，故函數(shù)在單調(diào)遞減

且當時，，即

當時，，即，又，

所以函數(shù)在處取得極大值，不滿足題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是