Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）若函數存在兩個極值點，求的取值范圍；

（3）若不等式對任意的實數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）求出，由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）是方程的兩個正根，可得，則可化為，令，可得在上單調遞增，所以；（3）對任意的實數恒成立，即對任意的實數恒成立，令，利用導數研究函數的單調性，討論的范圍，令的最小值不小于零，可得到實數的取值范圍.

詳解：（1）當時，，故，

且，故

所以函數在處的切線方程為

（2）由，可得

因為函數存在兩個極值點，所以是方程的兩個正根，

即的兩個正根為

所以，即

所以

令，故，在上單調遞增，

所以

故得取值范圍是

（3）據題意，對任意的實數恒成立，

即對任意的實數恒成立.

令，則

①若，當時，，故符合題意；

②若，

（i）若，即，則，在上單調贈

所以當時，，故符合題意；

（ii）若，即，令，得（舍去），

，當時，，在上單調減；

當時，，在上單調遞增，

所以存在，使得，與題意矛盾，

所以不符題意.

③若，令，得

當時，，在上單調增；當時，，

在上單調減.

首先證明：

要證：，即要證：，只要證：

因為，所以，故

所以

其次證明，當時，對任意的都成立

令，則，故在上單調遞增，

所以，則

所以當時，對任意的都成立

所以當時，

即，與題意矛盾，故不符題意，

綜上所述，實數的取值范圍是.