Question

已知函數f（x）=

1

x2-4

（x＜-2）
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）設a₁=1，

1

an+1

=-f-1(an)(n∈N*)，求a_n；
（3）若S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_n+1-S_n，是否存在最小正整數m使得對任意n∈N^*，都有b_n＜

m

25

成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反函數

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：（1）根據函數f（x）=

1

x2-4

（x＜-2），利用反表示法可得反函數f^-1（x）的解析式；
（2）由a₁=1，

1

an+1

=-f-1(an)(n∈N*)，結合（1）中反函數f^-1（x）的解析式，可得數列{

1

an2

}是一個以1為首項，以4為公差的等差數列，進而可得a_n；
（3）由S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，可得b_n=S_n+1-S_n=

1

4n+1

，進而根據

1

4n+1

≤

1

5

恒成立，得到滿足條件的m值．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=

1

x2-4

（x＜-2）
∴

x2-4

=

1

y

，即x2=

1

y2

+4，
即x=-

1 y2 +4

，y＞0，
故f（x）的反函數f^-1（x）=-

1 x2 +4

，（x＞0）
（2）∵

1

an+1

=-f-1(an)(n∈N*)，
∴

1

an+1

=

1 an2 +4

，即

1

an+12

=

1

an2

+4，
又∵a₁=1，
即數列{

1

an2

}是一個以1為首項，以4為公差的等差數列，
故

1

an2

=4n-3，
∴a_n=

1

4n-3

（3）∵S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=1+

1

5

+

1

9

+…+

1

4n-3

，
S_n+1=a₁²+a₂²+…+a_n²=1+

1

5

+

1

9

+…+

1

4n-3

+

1

4n+1

，
∴b_n=S_n+1-S_n=

1

4n+1

，
∵

1

4n+1

≤

1

5

恒成立，
故若b_n＜

m

25

成立，僅須

1

5

＜

m

25

，
解得m＞5，
又由m為整數，可得存在最小正整數m=6使得對任意n∈N^*，都有b_n＜

m

25

成立．

點評：本題考查數列與函數的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．