Question

四棱錐P-ABCD如圖放置，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB為等邊三角形．
（Ⅰ）證明：PD⊥面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明PD⊥PA，PD⊥PB，利用直線與平面垂直的判定定理證明PD⊥面PAB．
（Ⅱ）取AB中點M，連PM，DM，作PN⊥DM，垂足為N，再作NH⊥BC，連HN．說明∠NHP二面角P-CB-A的平面角．
在△NHP中，求解二面角A-PB-C的平面角的余弦值即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：易知在梯形ABCD中，AD=

5

，而PD=1，AP=2，則PD⊥PA
同理PD⊥PB，故PD⊥面PAB；…（6分）
（Ⅱ）取AB中點M，連PM，DM，
作PN⊥DM，垂足為N，再作NH⊥BC，連HN．
易得AB⊥面DPM，則面ABCD⊥面DPM
于是PN⊥面ABCD，BC⊥面NPH
即∠NHP二面角P-CB-A的平面角．
在△NHP中，PN=

3

2

，PH=

7

2

，NH=1，∴cos∠NHP=

2 7

7

，
故二面角A-PB-C的平面角的余弦值為

2 7

7

…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．