Question

【題目】已知直線，且與坐標軸形成的三角形面積為.求：

（1）求證：不論為何實數，直線過定點P；

（2）分別求和時，所對應的直線條數；

（3）針對的不同取值，討論集合直線經過P，且與坐標軸圍成的三角形面積為中的元素個數.

Answer 1

【答案】（1）定點，見解析；（2）時，2條直線，時，4條直線；（3）①時，2條直線； ②時，3條直線； ③時，4條直線.

【解析】

（1）直線方程化為，令求得直線所過的定點；

（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設出直線方程，求出直線與軸的交點，計算對應三角形的面積，由此求得直線條數；

（3）由題意得，討論和時方程對應的實數根，從而求出對應直線的條數，即可得出集合直線經過P且與坐標軸圍成的三角形面積為中元素的個數．

（1）直線可化為，

令，解得，

∴不論為何實數，直線過定點.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且，

設直線方程為，則直線與軸的交點為，與軸的交點為；

∴的面積為；

令，得，時，方程化為，

解得，有兩個正根，即有兩條直線；

時，方程化為，，方程無實數根，即無直線；

綜上知，時有兩條直線；

令，得，時，方程化為，

解得，有兩個正根，即有兩條直線；

時，方程化為，解得，有兩個負根，即有兩條直線；

綜上知，時有四條直線；

（3）由題意得，，時，方程化為，

解得，有兩個正根，即有兩條直線；

時，方程化為，， 時，

，方程無實數根，此時無直線；

時，，方程有一負根，此時有一條直線；

時，，解得，方程有兩負根，即有兩條直線；

綜上知，時有兩條直線；時有三條直線，時有4條直線；

所以時，集合直線經過P且與坐標軸圍成的三角形面積為中的元素有2個；

時，集合直線經過P且與坐標軸圍成的三角形面積為中的元素有3個；

時，集合直線經過P且與坐標軸圍成的三角形面積為中的元素有4個．