Question

已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．

（I）求橢圓的方程；
（II）設拋物線：的焦點為F，過F點的直線交拋物線與A、B兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線交于Q點，且Q點在橢圓上，求面積的最值，并求出取得最值時的拋物線的方程。

Answer 1

（I）
（II） 

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與拋物線和橢圓的位置關系的綜合運用。運用代數的手段來求解解析幾何是解析幾何的本質。
（1）由題意得結合性質得到參數a,b的值，從而得到橢圓的方程。
（2）先設點令  則拋物線在點A處的切線斜率為，然后結合導數的幾何意義得到切線方程，求解點的坐標，進而表示三角形的面積。得到拋物線方程。
（I）由題意得所求的橢圓方程為
（II）令  則拋物線在點A處的切線斜率為
所以切線AQ方程為:
同理可得BQ方程為:
聯立解得Q點為…………8分
焦點F坐標為(0, ), 令l方程為:  代入：
得:      由韋達定理有： 所以Q點為 過Q做y軸平行線交AB于M點， 則 
M點為, ,
……..12分
而Q點在橢圓上,