Question

是否存在銳角α和β，使（1）tan

α

2

+tanβ=3-

3

；（2）tan

α

2

tanβ=2-

3

同時成立？若存在，求出α和β的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：三角函數恒等式的證明

專題：計算題,三角函數的求值

分析：先求得

α

2

+β=

π

3

，tan

α

2

•tanβ=2-

3

構造關于tan

α

2

、tanβ的方程組，解出tan

α

2

、tanβ，進而求出α，β的度數．

解答： 解：存在．
∵

3

=tan

π

3

=tan（

α

2

+β）=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=

3- 3

1-(2- 3 )

．
∴（1）tan

α

2

+tanβ=3-

3

；（2）tan

α

2

tanβ=2-

3

，
由（1）（2）解得：

tan α 2 =1 tanβ=2- 3

或

tan α 2 =2- 3 tanβ=1

∴

α= π 2 β= π 12

（舍），

α= π 6 β= π 4

∴存在α=

π

6

，β=

π

4

滿足題意．

點評：解決本題的關鍵是根據兩式同時成立構各造方程組，求解過程中注意α，β為銳角，屬于基本知識的考查．