Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=3，則直線A₁C與平面ABC₁D₁所成角的正弦值為（　　）

• A、

  3 35

  35

• B、

  3 14

  7

• C、

  14

  7

• D、

  3 2

  10

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：求出A₁C，設直線A₁C與平面ABC₁D₁所的交點為O，則O為中點，在直角△A₁AD₁中，過A₁作A₁H⊥AD₁，垂足為H，連接OH，證得∠A₁OH即為直線A₁C與平面ABC₁D₁所成角，再解直角三角形A₁OH，即可得到正弦值．

解答： 解：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C=

AB2+AD2+AA12

=

1+4+9

=

14

，
設直線A₁C與平面ABC₁D₁所的交點為O，則O為A₁C的中點，
即有A₁O=

14

2

，在直角△A₁AD₁中，過A₁作A₁H⊥AD₁，垂足為H，連接OH，
由AB⊥平面AD₁，易得A₁H⊥平面ABC₁D₁．
則∠A₁OH即為直線A₁C與平面ABC₁D₁所成角，
由于A₁H=

A1A•A1D1

AD1

=

3

10

，
即有sin∠A₁OH=

A1H

A1O

=

3

10

×

2

14

=

3 35

35

．
故選A．

點評：本題考查直線與平面所成的角的求法，考查線面垂直的性質和判定，運算能力，屬于中檔題．