Question

已知E、F、G、H分別是三棱錐A-BCD 棱AB、BC、CD、DA的中點，
（1）四邊形EFGH是

 

形；
（2）AC與BD所成角為60°，且AC=BD=1，則EG=

 

．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由中位線易得EF∥AC且EF=

1

2

AC，GH∥AC且GH=

1

2

AC，可得平行四邊形；
（2）由異面直線所成的角可得∠EFG=60°或120°，在△EFG中易得答案．

解答： 解：（1）∵E、F、G、H分別是三棱錐A-BCD 棱AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF為△ABC的AC邊的中位線，故EF∥AC且EF=

1

2

AC，
同理GH為△ACD的AC邊的中位線，故GH∥AC且GH=

1

2

AC，
∴EF平行且等于GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形
（2）由（1）可得EF∥AC且EF=

1

2

AC=

1

2

，
同理FG∥BD且FG=

1

2

BD=

1

2

，
∵AC與BD所成角為60°，
∴∠EFG=60°或120°，
當∠EFG=60°時，EG=

1

2

；
當∠EFG=120°時，EG=

3

2

；
故答案為：平行四邊；

1

2

或

3

2

點評：本題考查空間中直線與直線的位置關系，涉及異面直線所成的角，屬基礎題．