Question

已知定義在R上的函數滿足f（1）=5，且f（x）的導函數f′（x）＜2x+3，則不等式f（x）＜x²+3x+1的解集為（　　）

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|x＜1}
• C、{x|x＞1}
• D、{x|x＜-1或x＞1}

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件構造函數g（x）=f（x）-（x²+3x+1），求出函數g（x）的導數，利用導數和單調性之間的關系即可得到結論．

解答： 解：設g（x）=f（x）-（x²+3x+1），
則函數的導數g′（x）=f′（x）-2x-3，
∵f′（x）＜2x+3，
∴g′（x）=f′（x）-2x-3＜0，
即函數g（x）為減函數，
則g（1）=f（1）-5=5-5=0，
即不等式f（x）＜x²+3x+1等價為g（x）＜0，
即等價為g（x）＜g（1），
解得x＞1，
故不等式的解集為{x|x＞1}，
故選：C

點評：本題主要考查不等式的求解，根據條件，構造函數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．