Question

在數列{a_n}中，a₁=

1

6

，a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

×

1

3n

（n≥2）
（1）求證：數列{a_n+

1

3n

}是等比數列；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）設S_n是{a_n}的前n項和，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比關系的確定,數列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：本題（1）根據題意，利用條件構造數列{a_n+

1

3n

}成等比，或者直接利用等比數列定義證明新數列后項與前項為比為定值，得到數列{a_n+

1

3n

}是等比數列；（2）先求出數列{a_n+

1

3n

}的通項公式，直接可得到{a_n}的通項公式；（3）利用數列{a_n}的通項公式，對數列{a_n}進行求和，再證明不等關系S_n＜

1

2

成立，得到本題結論．

解答： （1）證明：∵a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

×

1

3n

（n≥2），
∴an+

1

3n

=

1

2

an-1+

3

2

×

1

3n

=

1

2

(an-1+

1

3n-1

)．
∵a₁=

1

6

，
∴a 1+

1

3

=

1

2

．
∴數列{a_n+

1

3n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列．
（2）解：由（1）知：數列{a_n+

1

3n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
∴a_n+

1

3n

=

1

2n

，
∴a_n=

1

2n

-

1

3n

，n∈N^*．
（3）解：∵S_n是{a_n}的前n項和，
∴Sn=(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-(

1

3

+

1

32

+

1

33

…

1

3n

)
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

+

1

2

×

1

3n

-

1

2n

=

1

2

+

2n-2×3n

2n+1×3n

＜

1

2

．
∴S_n＜

1

2

．

點評：本題考查了定義法證明數列成等比、構造法求通項、等比數列的前n項和公式，本題難度適中，屬于中檔題．