Question

【題目】如圖是一段圓錐曲線，曲線與兩個坐標軸的交點分別是， ， .

（Ⅰ）若該曲線表示一個橢圓，設直線過點且斜率是，求直線與這個橢圓的公共點的坐標.

（Ⅱ）若該曲線表示一段拋物線，求該拋物線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ， ．(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意求得橢圓方程為，聯立直線方程與橢圓方程可得直線與橢圓的公共點的坐標為， ．

(Ⅱ)輸出拋物線方程的兩點式，然后結合題意可得拋物線方程為.

試題解析：

（Ⅰ）若該曲線表示一個橢圓，則橢圓方程為，

∵直線過且斜率為，

∴直線的方程為： ，

將，代入，得，

化簡得： ，解得或，

將代入，得，

故直線與橢圓的公共點的坐標為， ．

（Ⅱ）若該曲線是一段拋物線，則可設拋物線方程為： ，

將代入得，解得： ，

∴拋物線的方程為，

即．