Question

橢圓C：

x2

a

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

，
 （1）求橢圓的方程    
（2）若直線L過圓 x²+y²+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，B關(guān)于點M對稱，求直線L的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義求出a，b，即可求橢圓的方程    
（2）求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)點的對稱性，利用作差法求出直線斜率即可求出直線方程．

解答： 解 （1）∵PF₁⊥PF₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

14

3

+

4

3

=6，
即a=3，
且4c²═|PF₁|²+|PF₂|²=（

4

3

）²+（

14

3

）²=

212

9

解得c²=

53

9

，
∴b²=9-

53

9

=

28

9

，
故橢圓的方程為

x2

9

+

9y2

28

=1，
（2）設(shè)A（m，n），B（x，y），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+（y-1）²=5，
圓心M（-2，1），
∵A，B關(guān)于M對稱，
∴

m+x 2 =-2 n+y 2 =1

，即

m+x=-4 n+y=2

，
∵A，B都在橢圓上，
∴

m2 9 + 9n2 28 =1 x2 9 + 9y2 28 =1

，
兩式相減得

(m+x)(m-x)

9

+

9(n-y)(n+y)

28

=0，
即

-4

9

+

9×2

28

•

n-y

m-x

=0，
即直線AB的斜率k=

56

81

，
∴直線方程為y-1=

56

81

（x+2），
即56x-81y+193=0．

點評：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，利用對稱性結(jié)合作差法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．