Question

【題目】如圖所示，某地區打算在一塊矩形地塊上修建一個牧場（ABCDEF圍成的封閉區域）用來養殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（單位：百米），DEF是一段曲線形馬路.該牧場的核心區為等腰直角三角形MPQ所示區域，該區域用來養殖羊，其余區域養殖牛，且MP=PQ，牧場大門位于馬路DEF上的M處，一個觀察點P位于AB的中點處，為了能夠更好觀察動物的生活情況，現決定修建一條觀察通道，起點位于距離觀察點P處1百米的O點所示位置，終點位于Q處.如圖2所示，建立平面直角坐標系，若滿足.

（1）求的解析式；

（2）求觀察通道OQ長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）百米

【解析】

（1）依題意求出點，，，代入解析式即可求解；

（2）過點M，Q分別作x軸的垂線，垂足為，，可得，

再對分類討論，利用導數及二次函數的性質求出最小值；

解：（1）因為AB=10，P是AB的中點，所以AP=5，

又OP=1，所以AO=4，所以，，

因為CD=7，BC=4，AF=1所以，

由得，k=-4，所以.

故，又，所以解得，

所以

（2）過點M，Q分別作x軸的垂線，垂足為，，

則，

又因為PM⊥PQ，所以

所以，又因為PM=PQ，所以，

所以，由，可得，

①若，設，則，

.

令，則

，因為，所以

所以在上單調減，所以

設，則在上單調減

所以，所以

②若，設，則，

，

在上單調遞減，所以時，，

所以OQ的長度的最小值為百米.

答：觀察通道OQ的長度的最小值為百米