Question

【題目】在直四棱柱中，底面是邊長為6的正方形，點在線段上，且滿足，過點作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面積的最大值與最小值之差為，則直四棱柱外接球的半徑為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

先根據直四棱柱的特征，得到其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作，過點向底面作垂線，垂足為，連接，取中點為，連接，，，設，

根據題意，先得到外接球半徑，求出，根據球的特征，分別求出截面面積的最大值與最小值，列出方程求解，得出，即可求出半徑.

因為四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，

所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作，

過點向底面作垂線，垂足為，則，

連接，因為底面是邊長為6的正方形，所以點為的中點，

取中點為，連接，，，

設，則，所以外接球的半徑為，

因為點在線段上，且滿足，則，

又，所以，

因為直四棱柱中，側面，，所以側面，

所以，又底面，所以，

又，所以，

則；

根據球的特征，過點作直四棱柱外接球的截面，

當截面過球心時，截面圓面積最大，此時截面面積為；

當截面時，此時截面圓半徑為，

所以此時截面圓面積為；

又截面面積的最大值與最小值之差為，

所以，

因此，即，所以.

故選：C.