Question

（本小題滿分12分）
乒乓球臺面被球網分成甲、乙兩部分，如圖，
甲上有兩個不相交的區域，乙被劃分為兩個不相交的區域.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規定：回球一次，落點在上記3分，在上記1分，其它情況記0分.對落點在上的來球，隊員小明回球的落點在上的概率為，在上的概率為；對落點在上的來球，小明回球的落點在上的概率為，在上的概率為.假設共有兩次來球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：
（Ⅰ）小明的兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結束后，小明得分之和的分布列與數學期望.

Answer 1

（I）小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.
（II）機變量的分布列為：
 
數學期望

試題分析：（I）記為事件“小明對落點在A上的來球的得分為分”（ ）
則，
記為事件“小明對落點在B上的來球的得分為分” （ ）
則，
記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”，
由題意，，
由事件的獨立性和互斥性，即可得到小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率.
（II）由題意，隨機變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，
由事件的獨立性和互斥性，得
可得隨機變量的分布列為：
 
利用數學期望的計算公式得到
試題解析：（I）記為事件“小明對落點在A上的來球的得分為分”（ ）
則，
記為事件“小明對落點在B上的來球的得分為分” （ ）
則，
記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”，
由題意，，
由事件的獨立性和互斥性，



,
所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.
（II）由題意，隨機變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，
由事件的獨立性和互斥性，得
,
,
,
,
,
,
可得隨機變量的分布列為：
 
所以數學期望